Подстановки, индуцированные разрядно-инъективными преобразованиями модуля над кольцом Галуа

Для произвольного кольца Галуа $R=\mathrm{GR}(q^2,p^2)$, $q=p^r$, построен большой класс $m\times2m$-матриц над $R$, называемых разрядно-инъективными (РИ-матрицами), которым соответствует нелинейная подстановка $\pi$ на модуле $R^m$. В качестве криптографической характеристики таких подстановок изучаются свойства множества $\Sigma\pi$, где $\Sigma$ – регулярное представление группы $(R^m,+)$ в симметрической группе $S(R^m)$. В случаях $R=\mathrm{GR}(q^2,p^2)$, $p>2$, $m=1$ и $R=\mathrm{GR}(q^2,4)$, $m>1$ описаны классы разрядно-инъективных матриц с минимально возможным показателем $2$-транзитивности множества подстановок $\Sigma\pi$ равным 4. В случае $R=\mathbb Z_{p^2}$, $m=1$ показано также, что группа, порождённая множеством $\Sigma\pi$, содержит знакопеременную группу подстановок.