Локальные свойства функций и приближение тригонометрическими полиномами

Пусть $\Phi_{p,E}$ ($p>0$ — целое, $E\subset[0,2\pi]$) — семейство положительных неубывающих функций $\varphi_x(t)$ ($t>0$, $x\in E$) таких, что $\varphi_x(nt)\leqslant n^p\varphi_x(t)$ ($n=0,1,\dots$), $t_n$ — тригонометрический полином порядка не выше $n$; $\Delta_h^l(f,x)$ ($l>0$ — целое) — конечная разность порядка $l$ с шагом $h$ функции $f$.
ТЕОРЕМА. Пусть $f(x)$ — измеримая, конечная почти всюду на $[0,2\pi]$, интегрируемая в некоторой окрестности каждой точки $x\in E$ функция, $\varphi_x\in\Phi_{p,E}$ и
$$ \varlimsup_{\delta\to\infty}\left|(2\delta)^{-1}\int_{-\delta}^\delta\Delta_u^l(f,x)\,du\right|\varphi_x^{-1}(\delta)\leqslant C(x)<\infty\qquad(x\in E). $$
Тогда существует $\{t_n\}_{n=1}^\infty$, сходящаяся к $f(x)$ почти всюду, для которой при $x\in E$
$$ \varlimsup_{n\to\infty}|f(x)-t_n(x)|\varphi_x^{-1}(1/n)\leqslant AC(x), $$
где $A$ зависит от $p$ и $l$. Библ. 16 назв.