О проблеме делителей Ингама

Основным результатом работы является следующая теорема. Пусть $\tau(n)=\sum_{d|n}1$ и арифметическая функция $F$ удовлетворяет условиям:

• 1) функция $F$ мультипликативна;
• 2) если $F(n)=\sum_{d|n}f(d)$, то существует $\alpha>0$ такое, что при $n\to\infty$ выполняется равенство $f(n)=O(n^{-\alpha})$.

Тогда существуют постоянные $A_1$, $A_2$ и $A_3$ такие, что для любого фиксированного $\varepsilon>0$ выполняется равенство
$$ \sum_{n\leqslant x}\tau(n)\tau(n+1)F(n)=A_1x\ln^2x+A_2x\ln x+A_3x+O(x^{5/6+\varepsilon}+x^{1-\alpha/6+\varepsilon}), \quad x\to\infty. $$
Кроме того, если для любого простого $p$ выполняется неравенство $|f(p)|<1$ и функция $F$ сильно мультипликативна, то $A_1>0$.
Библиография: 8 названий.