Тождество Дарбу и его аналоги

Фиксируем натуральное $n$ и обозначим $F(x,y)=\sum_{m=0}^nf^{(n-m)}(x)g^{(m)}(y)$, где $f(\,\cdot\,)$ и $g(\,\cdot\,)$ – произвольные достаточно гладкие функции. Приводится три различных доказательства справедливости равенства
$$ F(x,y)-F(y,x)=\int_y^x\{f^{(n+1)}(t)g(x+y-t)-f(t)g^{(n+1)}(x+y-t)\}dt. $$
Устанавливаются также дискретный и некоммутативный аналоги этого тождества.
Библиография: 7 названий.