О системах сходимости в $C$ и базисах в $L$

Пусть $X$ — пространство с положительной конечной мерой. Доказано: 1) если ортонормированная система $\{\varphi_n(x)\}_{n=1}^\infty$ является системой равномерной сходимости в $C(X)$, то для некоторого $\alpha_\varphi>0$ $\max\limits_{1\le k\le n}\sup\limits_{x\in X}|\varphi_k(x)|\ge\alpha_\varphi\sqrt n$ при всех $n$; 2) функции Лебега бесконечной ортонормированной системы, имеющей мажоранту из $L^2(X)$, растут не медленнее $\ln n$ в каждой точке некоторого множества положительной меры; 3) нормированная в $L^2(X)$ бесконечная система функций, являющаяся базисом в $L(X)$, неограничена в совокупности. Библ. 6 назв.