Оценка целой функции через оценку функции и ее производных на кривой

Пусть $0<\lambda_n\uparrow\infty$, $\lim\limits_{n\to\infty}n/\lambda_n=0$,
$$ L(\lambda)=\prod_1^\infty(1-\lambda^2/\lambda^2_n)=\sum_0^\infty c_n\lambda^n\quad(c_{2n+1}=0) $$
и $m_n$ — положительные числа, удовлетворяющие условию
$$ \sum_0^\infty\beta_nm_n<\infty,\quad\beta_{2n}=\beta_{2n+1}=|c_{2n}|\quad(n\ge0). $$
ТЕОРЕМА 1. {\em Пусть функция $F(z)=\lim_{n\to\infty}P_n(z)$ (сходимость равномерная на любом компакте), где $P_n(z)$ — конечные линейные комбинации из функций $e^{\lambda_vz}$, удовлетворяет условию
$$ |F^{(n)}(\alpha)|<K(\alpha)m_n\quad(n\ge0),\quad K(\alpha)>0. $$
Тогда для любых $\varepsilon>0$ и $\varphi_0$, $0<\varphi_0<\pi/2$, существует такая постоянная $A$, не зависящая от функций $F(z)$ и $K(\alpha)$, что}
$$ |F(z)|<AK(\alpha),\quad|\pi-\arg[z-(\alpha-\varepsilon)]|<\varphi_0. $$
Библ. 8 назв.