О телах постоянной ширины в конечномерных нормированных пространствах

Для любого тела $A$ постоянной ширины (т.п.ш.) $h$ в нормированном пространстве $R^n$ через $t(A)$ обозначим наименьшее числом замкнутых шаров радиуса $h$, пересечение которых есть $A$. Известно, что если пространство $R^n$ ($n\ge2$) евклидово, то для любого т.п.ш. $A\subset R^n$ при $n=2$ число $t(A)$ не может быть четным, а при $n>3$ $t(A)=\infty$. Доказывается, что для любого т.п.ш. $A\subset R^n$ выполняется неравенство $t(\Lambda)\le t(\Sigma)$, где $\Sigma$ — единичный шар в рассматриваемом $R^n$. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых $t(\Sigma)<\infty$. Получен следующий результат: если для некоторой фигуры п.ш. $A\subset R^2$ число $k=t(A)$ четно, то единичный круг $\Sigma\subset R^2$ является $2k$-угольником. Библ. 6 назв.