О теоремах типа теоремы Лиувилля

Пусть $P_n(z)$, $n=0,1,\dots,$ — функции, заданные на бесконечном множестве точек $G$ комплексной плоскости. Рассматриваются функции $F(z)=\sum_{k=0}^\infty d_kP_k(z)$, удовлетворяющие уравнению
$$ M(F)\equiv\sum_{n=0}^\infty c_nD^nF(z)=0, $$
где $D^nF(z)=\sum_{k=n}^\infty d_kP_{k-n}(z)$. В зависимости от поведения функций $P_n(z)$ доказываются две теоремы, утверждающие, что если $M(F)=0$ и $d_k$ имеют ограничение на рост, то $F(z)=\sum_{k=0}^Nd_kP_k(z)$ или $F(z)$ является конечной линейной комбинацией функции $y_{n,m}(z)=\frac{\partial^m}{\partial\lambda^m}A(z,\lambda_n)$, где $A(z,\lambda)=\sum_{k=0}^\infty\lambda^kP_k(z)$, а $\lambda_n$ — нули $L(\lambda)=\sum_{k=0}^\infty c_k\lambda^k$. При определенных условиях на $L(\lambda)$ функция $F(z)\equiv0$. Построены примеры, подтверждающие существенность требований доказываемых теорем. Библ. 2 назв.