Некоторые оценки дифференцируемых функций

Пусть $x(t)\in C_{[a,b]}^{(n)}$ и имеет $n$ нулей в точках $a,b$. Показано, что если $x^{(n)}(t)$ сохраняет знак на $[a,b]$, то
$$ |x(t)|\ge\frac{p_0}{(n-1)}\Bigl[\sup\limits_{\tau\in(a,b)}\frac{|x(\tau)|}{(\tau-a)^{p-1}(b-\tau)^{q-1}}\Bigr](t-a)^p(b-t)^q\quad(a<t<b), $$
где $p$ — кратность нуля $x(t)$ в точке $a$, $q$ — в точке $b$ и $p_0=\min\{p,q\}$. При доказательстве установлены двусторонние оценки функции Грина двухточечной интерполяционной задачи для оператора $Lx\equiv x^{(n)}$. В качестве приложения получены новые условия разрешимости двухточечных краевых задач Валле Пуссена. Библ. 10 назв.