О группах автоморфизмов конечных $р$-групп

Томпсон [1] доказал, что если $p$ — нечетное простое число, $A$ — $p$-группа операторов конечной $p$-группы $P$, в которой подгруппа Фраттини $\Phi(P)$ элементарна и центральна, а $P/\Phi(P)$ — свободный $Z_pA$-модуль, то $C_P(A)$ накрывает $C_{P/\Phi(P)}(A)$. Там же он поставил вопрос, можно ли в этой теореме ослабить требование элементарности и центральности $\Phi(P)$. В работе показано, что это требование можно заменить на более слабое; достаточно того, что $P$ — метабелева и имеет ступень нильпотентности $<p$. Строятся примеры, показывающие, что ограничение на ступень нильпотентности $P$ существенно.
В качестве следствия получено отрицательное решение для всех простых чисел $p$ проблемы Гашюца о сопряженности холловых $p'$-подгрупп силовизаторов $p$-подгруппы в разрешимой группе [2]. Библ. 7 назв.