О приближении интегрируемых функций линейными методами почти всюду

Показано, что $2\pi$-периодические функции, $(r-1)$-е производные которых имеют ограниченное изменение $(r>0)$, приближаются суммами Валле Пуссена $\sigma_{n,m}(an\le m=m(n)\le An, 0<a<A<1)$ почти во всех точках со скоростью $o(n^{-r})$. Для функций из $\operatorname{Lip}(\alpha,L)(0<\alpha<1)$ для любого натурального $N$ и $\varepsilon>0$ почти всюду
$$ |f(x)-\sigma_{n,m}(f;x)|\le c(f,x)n^{-\alpha}\ln n\dots\ln_N^{1+\varepsilon}n, $$
где $\ln_kx=\underbrace{\ln\dots\ln x}_k(k=1,2,\dots)$. Для любого треугольного метода суммирования $T$ с ограниченными коэффициентами строятся функции из $\operatorname{Lip}(\alpha,L)(0<\alpha<1)$ такие, что почти всюду
$$ \varlimsup_{n\to\infty}|f(x)-\tau_n(f;x)|n^\alpha(\ln n\dots\ln_Nn)^{-\alpha}=\infty, $$
где $\tau_n(f;x)$ — средние метода $T$. Библ. 9 назв.