О некоторых соотношениях между теоретико-групповыми инвариантами конечных $p$-групп

В заметке получена формула для числа решений уравнения $x^{p^n}=1$ в произвольной конечной $p$-группе $G$ (экспоненты $p^l$, $1\le n\le l$) и формула числа циклических подгрупп любого порядка группы $G$. Установлена связь между $|G|$, $p^l$ и рангами тех подгрупп $G$, порядки которых $>p^l$; в случае регулярности $G$ имеют место аналогичные соотношения между порядками характеристических подгрупп $\Omega_n=\langle x\mid x\in G,x^{p^n}=1\rangle$, $n=1,2,\dots,l$, и рангами подгрупп $G$ порядков, больших $p^n$. Эти результаты являются точными; некоторые из них усиливают известные классические теоремы Фробениуса и Миллера для $p$-групп. Библ. 2 назв.