Об асимптотическом разложении решения начальной задачи в банаховом пространстве

Для уравнения
$$ \frac1i\frac{du}{dt}-A_0u-\sum_{j=1}^mA_j(t)u(t-h_j^0-h_j(t))=f(t), $$
где $h_0=0$, $h_0(t)\equiv0$, $h_j^0=\mathrm{const}>0$, $h_j(t)$ $(j=1,\dots,m)$ — неотрицательные непрерывно дифференцируемые в $[0,\infty)$ функции, $A_0$ — линейный ограниченный оператор,
$$ |A_j(t)|_x\le K_je^{-(a-\varepsilon/2)t},\quad K_j=\mathrm{const}, $$
где $|\cdot|_x$ — норма в банаховом пространстве $X$, в котором заданы $A_0$ и $A_j(t)$, при некоторых условиях на резольвентный оператор $R_\lambda^0=(\lambda E-A_0)^{-1}$, на $h_j(t)$ $(j=1,\dots,m)$ и на правую часть $f(t)$ — получена асимптотическая оценка для любого решения $u(t)$ из $L_2$ через экспоненциальные решения $u_k(t)$ уравнения $\frac1i\frac{du}{dt}-A_0u=0$ вида
$$ |e^{(a-\varepsilon)t}|u(t)-\sum_{k=1}^nu_k(t)|_x|_{L_2}^2\le c_1+c_2|u(0)|^2_x+c_3\int_0^\infty|u(t)|^2_x\,dt, $$
где $c_1$, $c_2$ и $c_3$ — постоянные, не зависящие от решения $u(t)$, $a>0$. Библ. 1 назв.