О связи между невыпуклостью множества и невыпуклостью его $\varepsilon$-окрестностей

С каждым замкнутым подмножеством $P$ банахова пространства ассоциируется некоторая числовая функция $\alpha _P$, характеризующая невыпуклость этого множества. Неравенства типа $\alpha _P(\cdot )<1$ обеспечивают хорошие топологические свойства множества $P$: стягиваемость, экстензорность и т.п. В заметке построены примеры множеств, у которых функции невыпуклости сколь угодно тесных окрестностей существенно отличаются от функции невыпуклости самого множества. С другой стороны, доказано, что в равномерно выпуклых банаховых пространствах условия типа “функция невыпуклости меньше единицы” устойчивы относительно взятия $\varepsilon$-окрестностей множеств.
Библиография: 17 названий.