Сравнений Рамануджана $\mod691^2$ не существует

Пусть $\tau(n)$ — функция Рамануджана,
$$ x\prod_{m=1}^\infty(1-x^m)^{24}=\sum_{n=1}^\infty\tau(n)x^n. $$
В этой работе показано, что сравнение Рамануджана $\tau(n)\equiv\sum_{d/n}d^{11}\bmod691$ не улучшается по $\bmod691^2$. Доказан следующий результат: для произвольных $r$, $s\bmod691$ множество таких простых чисел, что $p\equiv r\bmod691$, $\tau(p)\equiv p^{11}+1+691\cdot s\bmod691^2$, имеет положительную плотность. Библ. 5 назв.