О рядах Пуанкаре

Для многочлена $F(x_1,\dots,x_m)$ с целыми $р$-адическими коэффициентами через $N_\alpha$ обозначим число решений сравнения $F(x_1,\dots,x_m)\equiv0\pmod{p^\alpha}$ и рассмотрим ряд $\varphi(t)=\sum_{\alpha=0}^\infty N_\alpha t^\alpha$, называемый рядом Пуанкаре для многочлена $F$. В работе доказана рациональность ряда $\varphi(t)$ для класса изометрически эквивалентных многочленов от $m$ переменных, $m\ge2$, содержащего сумму двух форм $\Phi_n(x,y)+\Phi_{n+1}(x,y)$ соответственно степеней $n$ и $n+1$, $n\ge2$. В частности, ряд Пуанкаре для любого многочлена $F_s(x,y)$ степени 3 (по совокупности неизвестных) с целыми $p$-адическими коэффициентами является рациональной функцией $t$. Библ. 3 назв.