О диаметре множества средних точек хорд ограниченного замкнутого множества

Для диаметра $d(S_n(a))$ множества $S_n(a)$, образованного серединами хорд длины $\geqslant a$ $(0<a\leqslant1)$ замкнутого множества диаметра 1 в евклидовом пространстве $E^n$, получена оценка
$$ d(S_n(a))\leqslant\begin{cases} 1-a^2/2,&n=2, \\ \sqrt{1-a^2/2},&n\geqslant3, \end{cases} $$
и показано, что неравенства нельзя улучшить. Библ. 2 назв.