О базисности Рисса собственных и присоединенных функций периодической и антипериодической задач Штурма–Лиувилля

В работе изучается оператор Штурма–Лиувилля
$$ Ly=-y''+q(x)y, \qquad x\in[0,1], $$
порожденный в пространстве $L_2=L_2[0,1]$ периодическими или антипериодическими краевыми условиями. Доказаны теоремы о базисности собственных и присоединенных функций оператора $L$. Одним из основных является следующий результат. Пусть потенциал $q$ принадлежит пространству Соболева $W_1^p[0,1]$ при некотором целом $p\ge0$ и удовлетворяет условиям $q^{(k)}(0)=q^{(k)}(1)=0$ при $0\le k\le s-1$, где $s\le p$. Пусть функции $Q$ и $S$ определены равенствами $Q(x)=\int_0^xq(t)\,dt$, $S(x)=Q^2(x)$ и $q_n$, $Q_n$, $S_n$ – коэффициенты Фурье функций $q$, $Q$, $S$ по тригонометрической системе $\{e^{2\pi inx}\}_{-\infty}^\infty$. Пусть последовательность $q_{2n}-S_{2n}+2Q_0Q_{2n}$ убывает не быстрее степени $n^{-s-2}$. Тогда система собственных и присоединенных функций оператора $L$, порожденного периодическими краевыми условиями, образует базис Рисса (после нормировки собственных функций) в пространстве $L_2[0,1]$ в том и только том случае, когда выполняется условие
$$ q_{2n}-S_{2n}+2Q_0Q_{2n}\asymp q_{-2n}-S_{-2n}+2Q_0Q_{-2n},\qquad n>1. $$

Библиография: 13 названий.