Приближение функций суммами Валле Пуссена

Пусть $\sigma_{n,m}(f)$ ($0\leqslant m\leqslant n$, $m,n\in\mathbf Z_+$) – суммы Балле Пуссена периодической' функции $f$. Для любой последовательности $\varepsilon=\{\varepsilon_k\}$ $(k=0,1,\dots)$, $\varepsilon_k\downarrow0$ $(k\to\infty)$ обозначим через $C(\varepsilon)(L(\varepsilon))$ класс непрерывных (суммируемых) функций $f$, для которых $E_k(f)C(L)\leqslant\varepsilon_k$. В работе устанавливается, что
$$ \sup_{f\in L(\varepsilon)}\|f-\sigma_{n,m}(f)\|_L\asymp\sum^n_{\nu=0}\frac{\varepsilon_{n-m+\nu}}{m+\nu+1}, $$
и, если ряд $\sum^\infty_{\nu=1}\varepsilon_\nu/\nu$ сходится, то
$$ \sup_{f\in C(\varepsilon)}\|\tilde f-\sigma_{n,m}(\tilde f)\|_C\asymp\sum^n_{\nu=0}\frac{\varepsilon_{n-m+\nu}}{m+\nu+1}+\sum^\infty_{\nu=n+1}\frac{\varepsilon_\nu}{\nu} $$
и аналогично в метрике $L$. Библ. 8 назв.