О конечномерных проекционных операторах в пространстве $C$, имеющих единичную норму

Пусть $C_m$ – $m$-мерное подпространство пространства $C$, натянутее на функции $\varphi_1(x),\dots,\varphi_m(x)$. Положим
$$ \Phi=\{y\mid y=(\varphi_1(x),\dots,\varphi_m(x))\}\subset\mathbf R^m. $$
Для того чтобы существовал проекционный оператор из $C$ на $C_m$, имеющий единичную норму, необходимо и достаточно, чтобы выпуклая оболочка множества $\Phi\cup(-\Phi)$ имела ровно $m$ пар крайних точек. Из этого утверждения выводится ряд следствий. Библ. 5 назв.