Существование псевдосходящихся подпоследовательностей и суммирование псевдосходящихся последовательностей в банаховом пространстве

Последовательность $\{x_n\}$ из банахова пространства $X$ называется псевдосходящейся к $x_0\in X$, если для любого $\varepsilon>0$
$$ \sup_{f\in X^*}\operatorname{card}\{k:|f(x_k-x_0)|\geqslant\varepsilon\|f\|\}<\infty. $$

Доказано, что каждая слабо сходящаяся последовательность функций из $C[0,1]$, вариации которых ограничены в совокупности, содержит псевдосходящуюся подпоследовательность. Базисная последовательность в равномерно выпуклом банаховом пространстве является псевдосходящейся. Матрица $A$ преобразует любую псевдосходящуюся, но не сходящуюся последовательность в псевдосходящуюся к тому же пределу тогда и только тогда, когда $A$ – матрица Теплица и последовательность строк матрицы $A$ псевдосходится к 0 в $c_0$. Библ. 8 назв.