Наилучшие хаусдорфовы приближения алгебраическими полиномами и непрерывность функции

Пусть $H_\alpha E_n(f,\Delta)$ – наименьшее уклонение ограниченной и, вообще говоря, неоднозначной функции $f(x)$ $(x\in\Delta=[-1,1])$ от алгебраических полиномов степени не большей $n$ в $\alpha$-метрике Хаусдорфа, и $I(f)=\varliminf nH_\alpha E_n(f,\Delta)$. Тогда, если $I(f)=\pi\sqrt{1-a^2}/(2\alpha)$, где $0<a\leqslant1$, то $f(x)$ непрерывна на $(-a,a)$; при этом для любого $a$, $0<q\leqslant1$, существует функция $g(x)$ $(x\in\Delta)$ с разрывами второго рода в точках $\pm a$, для которой $I(g)=\pi\sqrt{1-a^2}/(2\alpha)$. Если $I(f)=\pi\sqrt{1-a^2}/\alpha$, то $f(x)$ непрерывна почти всюду на $[-a,a]$; с другой стороны, если $0<a<1$, то найдется функция $g(x)$ $(x\in\Delta)$, непрерывная на $[-a,a]$ и разрывная и многозначная всюду на множестве $\Delta\setminus[-a,a]$, для которой $I(g)=\pi\sqrt{1-a^2}/\alpha$. Библ. 5 назв.