Нетривиальные решения рациональных разностных уравнений высших порядков

Доказано, что при любом $k\in\mathbb N$ для некоторого положительного решения обобщенного разностного уравнения Путнама
$$ x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}+\dots+x_{n-(k-1)}+x_{n-k}x_{n-(k+1)}} {x_nx_{n-1}+x_{n-2}+\dots+x_{n-(k+1)}}\,,\qquad n\in\mathbb N_0, $$
имеет место асимптотика
$$ x_n=1+(k+1)e^{-\lambda^n}+(k+1)e^{-c\lambda^n}+o(e^{-c\lambda^n}) $$
при некотором $c>1$, зависящем от $k$; здесь $\lambda$ – корень полинома $P(\lambda)=\lambda^{k+2}-\lambda-1$, лежащий в интервале $(1,2)$. Этот результат используется для доказательства того, что уравнение имеет положительное решение, которое в пределе не равно единице. Кроме того, при $k=1$, найдены все положительные решения уравнения, которые в пределе равны единице.
Библиография: 24 названия.