О предельном поведении максимального заполнения в равновероятной схеме размещения частиц комплектами

Рассматривается равновероятная схема размещения частиц комплектами: $n$ комплектов по $s$ частиц в каждом комплекте независимо размещают в $N$ ячейках, частицы одного комплекта размещаются в ячейках по одной, причем все $C_N^s$ возможных размещений частиц комплекта равновероятны. Обозначим $\eta_i$ число частиц в ячейке с номером $i$, $\alpha=ns/N$, $\eta_{(N)}=\max_{1\leqslant i\leqslant N}\eta_i$. Доказывается следующая
ТЕОРЕМА. {\it Пусть $n$, $N$, $\alpha/\ln N\to\infty$, $s/N\to0$, тогда
$$ \mathsf P\biggl\{\frac{\eta_{(N)}-\alpha-\alpha u(\alpha^{-1}(\ln N-2^{-1}\ln\ln N),s/(N-s))}{\sqrt{\alpha/2\ln N}}+\dfrac{\ln4\pi}{2}\leqslant z\biggr\}\to\exp(-\exp(-z)), $$
где $u(w,a)$ – неотрицательная функция, задаваемая в интервале $0\leqslant w<\infty$ уравнением
$$ (1+u)\ln(1+u)+a^{-1}(1-au)\ln(1-au)=w,\quad a>0. $$
}
Библ. 2 назв.