Связь между средними величинами и допустимыми преобразованиями шкалы

Пусть $\varphi$ – строго возрастающее преобразование прямой в себя преобразование шкалы, $X=(x^1,\dots,x^n)$ – $n$-мерный вектор, $\varphi(X)=(\varphi(x^1),\dots,\varphi(x^n))$. Функция $f(X)$ называется средней величиной, если $\min\{x^i,\ i=1,\dots,n\}\leqslant f(X)\leqslant\max\{x^i,\ i=1,\dots,n\}$. Преобразование $\varphi$ называется допустимым относительно $f(X)$, если $f(X_1)<f(X_2)$ тогда и только тогда, когда $f(\varphi(X_1))<f(\varphi(X_2))$. Изучаются две задачи.
I. Дана совокупность $\Phi=\{\varphi\}$ преобразований шкалы $\varphi$. Найти все средние $f$ из данного класса, для которых все $\varphi\in\Phi$ являются допустимыми.
II. Дано среднее $f$. Найти все преобразования $\varphi$, допустимые относительно $f$.
Библ. 5 назв.