О примитивных целых точках на поверхности эллиптического конуса

Исследуется вопрос о числе примитивных целых точек на поверхности эллиптическою конуса второго порядка. Обозначим через $\overline r_\varphi(n)$ число целых точек $\{x,y,n\}$ с условием $\text{Н.О.Д.}(x,y,n)=1$ на поверхности $\varphi(x,y)=n$, $\varphi(x,y)$ – положительно определенная непочисленная бинарная квадратичная форма. Тогда
\begin{equation} \sum_{1\leqslant n\leqslant N}\overline r_\varphi(n)=A_\varphi N+O\biggl(N^{1/2}e^{-c\frac{(\log N)^{3/5}}{(\log\log N)^{1/5}}}\biggr), \tag{1} \end{equation}
где $A_\varphi$ – явно вычисленная постоянная, $c>0$ – постоянное число, и если $f<N$ и $t\to\infty$, $N\to\infty$, то
$$ \sum_{N-t\leqslant n\leqslant N}\overline r_\varphi(n)=A_\varphi t+\begin{cases} C((Nt)^{1/4+\varepsilon}), & t\geqslant N^{5/7},\\ O(N^{3/7+\varepsilon}), & t\leqslant N^{5/7}, \end{cases} $$
$\varepsilon>0$ – сколь угодно мало. Оценка (1) уточняет результат В. П. Мякишева (Докл. АН СССР, 143, № 4 (1962), 785–786). Библ. 10 назв.