Функционал Тайкова в пространстве алгебраических многочленов на многомерной евклидовой сфере

Обсуждаются три взаимосвязанные экстремальные задачи на множестве $\mathscr P_{n,m}$ алгебраических многочленов заданного порядка $n$ на единичной сфере $\mathbb S^{m-1}$ евклидова пространства $\mathbb R^m$ размерности $m\ge 2$. (1) Норма функционала $F(h)=F_hP_n=\int_{\mathbb C(h)}P_n(x)\,dx$, являющегося интегралом по сферической шапочке $\mathbb C(h)$ углового радиуса $\operatorname{arccos} h$, $-1<h<1$, на множестве $\mathscr P_{n,m}$ с нормой пространства $L(\mathbb S^{m-1})$ суммируемых функций на сфере. (2) Наилучшее приближение в $L_\infty(\mathbb S^{m-1})$ характеристической функции $\chi_h$ шапочки $\mathbb C(h)$ подпространством $\mathscr P^\bot_{n,m}$ функций из $L_\infty(\mathbb S^{m-1})$, ортогональных пространству многочленов $\mathscr P_{n,m}$. (3) Наилучшее приближение в пространстве $L(\mathbb S^{m-1})$ функции $\chi_h$ самим пространством многочленов $\mathscr P_{n,m}$. Приведено решение всех трех задач для значения $h=t(n,m)$, являющегося наибольшим корнем многочлена одного переменного порядка $n+1$, наименее уклоняющегося от нуля в пространстве $L_1^\phi$ на интервале $(-1,1)$ с ультрасферическим весом $\phi(t)=(1-t^2)^\alpha$, $\alpha=(m-3)/2$.
Библиография: 11 названий.