О величине сумм характеров от многочленов

Доказывается следующая
ТЕОРЕМА. {\it Пусть $\eta>0$. Существует бесконечное множество простых чисел $p$, $p\equiv1(\mod2m)$, таких, что при любом $n\backslash m$, $n>2$, справедливы неравенства:
1. Для любого неглавного характера $\psi$ показателя $m$
$$ \biggl|\sum^p_{x=1}\psi(x^n-1)\biggr|\geqslant \begin{cases} (n-2-\eta)\sqrt{p}, &\text{если $\psi^n$ -- главный характер;} \\ (n-1-\eta)\sqrt{p}, &\text{в противном случае}. \end{cases} $$

2. При некотором $\lambda_n\not\equiv0\pmod p$
$$ \biggl|\sum_{x=1}^p\exp(2\pi i\lambda_nx^n/p)\biggr|\geqslant(n-1-\eta)\sqrt{p}. $$
}
Теорема показывает, что оценки А. Вейля для сумм характеров от многочленов произвольной фиксированной степени над простым конечным полем нельзя улучшить как по порядку, так и с учетом коэффициента при $\sqrt{p}$. Библ. 17 назв.