К проблемам Н. Н. Лузина о вложимости и расщеплении проективных множеств

Плоское множество называется однозначным, если каждая вертикальная прямая пересекает его не более чем в одной точке, и называется счетнозначным, если каждая вертикальная прямая пересекает его по не более чем счетному множеству. Н. Н. Лузин в 1930 г. поставил следующие вопросы: 1) верно ли, что каждое однозначное множество класса $A_n$ можно вложить в однозначное $B_n$-множество? 2) верно ли то же самое для счетнозначных множеств? 3) верно ли, что каждое счетнозначное $B_n$-множество является объединением счетного числа однозначных $B_n$-множеств? 4) верно ли это для множеств класса $CA_{n-1}$? Основные результаты статьи состоят в следующем:
1. При $n=2$ ответ на все четыре вопроса отрицателен.
2. В предположении аксиомы конструктивности, ответ на все четыре вопроса отрицателен при любом $n\geqslant3$.
3. В модели Леви–Соловея существует счетнозначное $CA$-множество, не являющееся объединением счетного числа однозначных проективных множеств, а каждое счетнозначное проективное множество можно вложить в счетнозначное $A_2$-множество. Библ. 10 назв.