Большие уклонения для ветвящихся процессов с иммиграцией

Пусть $\mu(t)$ ($t=0,1,\dots$) – ветвящийся процесс с иммиграцией с дискретным временем, $F(s)$ и $G(s)$ – производящие функции числа потомков одной частицы и числа иммигрирующих частиц соответственно. Предположим, что функции $F(s)$ и $G(s)$ аналитичны в круге $|s|<1+\varepsilon$ ($\varepsilon>0$), максимальный шаг решетки распределения $F(s)$ равен единице, $F'(1)=1$, $G'(1)>0$, $F''(1)=b>0$, $\theta=1G'(1)b^{-1}$. Доказано, что если $n\to\infty$ и $x=\dfrac{2n}{bt}=o\biggl(\dfrac{t}{\ln t}\biggr)$ при $t\to\infty$, то
\begin{gather*} \mathsf P\{\mu(t)=n\}\thicksim\frac{1}{n\Gamma(\theta)}x^\theta e^{-x}, \\ \mathsf P\biggl\{\dfrac{2\mu(t)}{bt}>x\biggr\}\thicksim\frac{1}{\Gamma(\theta)}\int^\infty_xy^{\theta-1}e^{-y}\,dy, \end{gather*}
где $\Gamma(\theta)$ – гамма-функция. Библ. 3 назв.