О приближении функций обобщенной конечной вариации посредством рациональных функций

Пусть $f(x)$ измерима по Лебегу на $\Delta=[a,b]$, $p>0$,
$$ \|f\|_{L_p}=\biggl(\int_a^b|f(x)|^p\,dx\biggr)^{1/p};\quad L_pR_n(f,\Delta)=\inf\{\|f-r\|_{L_p}\}. $$
где $r$ пробегает все действительнозначные! рациональные функции степени $\leqslant n$; $V_\Phi$, $\Delta(M)$ – класс всех функций $f$, для $\Phi$-х вариаций которых имеем
$$ V_\Phi(f;\Delta)\leqslant M;\varkappa(f;n)=\sup\biggl\{\sum_{k=0}^{n-1}|f(x_{k+1})-f(x_k)|:0\leqslant x_1\leqslant x_2\leqslant\dots\leqslant x_n\leqslant1\biggr\}. $$
Доказьшается, что если $f(x)$ измерима и ограничена на $I=[0,1]$, то $L_pR_n(f;I)\leqslant c_p\varkappa(f;n)/n$, где $c_p$ зависит лишь от $p$; $\sup\{L_pR_n(f):f\in V_{\Phi,\Delta}(M)\}\asymp|\Delta|^{1/p}\Phi^{-1}(M/n)$. Библ. 14 назв.