Дискретные константы Лебега

Рассматриваются дискретные ряды Фурье на равномерной сетке $l/q$ ($l=0,\dots,q-1$) и изучаются соответствующие константы Лебега
$$ L_m(q)=\frac{m+1}{q}+\frac{1}{q}\sum_{l=1}^{q-1}\frac{|\sin(\pi(m+1)l/q)|}{\sin(\pi l/q)}. $$
Устанавливается, что
$$ \frac{1}{\pi}\ln(m+1)+O(1)\leqslant L_m(q)\leqslant\frac{4}{\pi^2}\ln(m+1)+O(1) $$
и эти оценки точны. Доказано, что
$$ \varliminf_{\substack{m\to\infty\\m/q\to\alpha}}\frac{L_m(q)}{\ln(m+1)}=C(\alpha)\quad (0\leqslant\alpha\leqslant1/2), $$
где $C(\alpha)$ есть следующая функция римановского типа:
$$ C(\alpha)=\begin{cases} \dfrac{4}{\pi^2}, &\text{ если $\alpha$ иррациональное или $\alpha=0$,}\\ \dfrac{2}{\pi p}\operatorname{ctg}\dfrac{\pi}{2p}, &\text{ если $\alpha=\dfrac{r}{p}\ne0\ (r,p)=1$.} \end{cases} $$
Библ. 4 назв.