О проекционных разложениях, базисах Маркушевича и эквивалентных нормах

Изучаются объекты, указанные в заглавии. В частности, приведен пример банахова пространства $X$ с локально равномерно выпуклой нормой (т.е. для любого $x\in X$, $\|x\|=1$, из соотношений $\|x_n\|=1$, $\|x_n+x\|\to2$ следует $\|x_n-x\|\to0$) без $M$-базиса. Как известно, сопряженное пространство с локально равномерно выпуклой нормой имеет $M$-базис. $M$-базисом банахова пространства $X$ называется набор $(x_i,f_i)$, $x_i\in X$, $f_i\in X^*$, $i\in\mathscr Y$ ($\mathscr Y$ – некоторое множество), для которого $f_i(x_j)=\delta_{ij}$ ($\delta$ – Кронекера), множество $(x_i)$ тотально на $X^*$, a $(f_i)$ – на $X$. Библ. 10 назв.