Приближение функций многих переменных суммами Фейера

Пусть $D$ — выпуклое центрально-симметричнее тело из $\mathbf R^m$, $rD$ — его гомотет c коэффициентом $r>0$, $E_r(f)_p$ — наилучшее приближение функции $f\in L^p([0,2\pi)^m)$ тригонометрическими полиномами со спектром из $rD$ в метрике $L^p([0,2\pi)^m)$; $\sigma_R(f,x;D)$ — cуммы Фейера функции $f$; для любой функции $\varepsilon=\varepsilon_r$ ($r\ge0$), $\varepsilon_r\downarrow0$ ($r\uparrow\infty$), $\varepsilon_{r'}=\varepsilon_{r''}$ при $r'D\cap Z^m=r''D\cap Z^m$ определяется класс
$$ L^p_\varepsilon=\{f\in L^p([0,2\pi)^m)\colon E_r(f)_p\le\varepsilon_r\ (r\ge0)\}. $$
Установлено, что при $p=1,\infty$ и любого $R>0$
$$ \sup_{f\in L^p_\varepsilon}\|f-\sigma_R(f;D)\|_p\underset{m,D}\asymp R^{-1}\int^R_0\varepsilon_r\,dr. $$
Аналогичная задача решена в $L^2([0,2\pi)^m)$. Библ. 18 назв.