Об одной экстремальной задаче для полиномов

Рассматривается произвольное инвариантное относительно сдвига на $2\pi /({n+1})$ пространство $\mathscr P_n$, порожденное $2\pi$-периодической системой Чебышева $\{1,\varphi_1,\varphi_2,\dots,\varphi_{2n}\}$; изучается величина
$$ m(\mathscr P_n)=\inf\{\operatorname{mes}(x\in[0,2\pi]:P_n(x)\ge 0):P_n\in\mathscr P_n^0\}, $$
где $\mathscr P_n^0$ — множество полиномов $P_n \in\mathscr P_n$ с нулевым средним значением. Доказано, что величина $m(\mathscr P_n)$ равна $2\pi/(n+1)$. Библ. 6 назв.