Некоторое усиление теоремы Меньшова «Об исправлении»

В статье доказываются теоремы, являющиеся усилениями известной теоремы Меньшова «Об исправлении».
В частности, доказывается, что для произвольных последовательностей $\{M_k\}_1^\infty$ и $\{N_k\}_1^\infty$, $M_k\to N_k\to\infty$, для любой функции $f$ из $C[0,2\pi]$ и любого $\sigma>0$ существует тригонометрический ряд по функциям $\{e^{isx}\}$, $N_k\le s\le M_k$, $k\ge1$, действительная часть суммы которого отличается от $f$ на множестве меры, меньшей $\sigma$. Аналогичная теорема доказывается и в многомерном случае.