Об одном приложении геодезического моделирования дифференциальных уравнений 2-го порядка

Пусть $(M,g)$ — риманово многообразие, $\nabla$ — связность метрики $g$, $m$ и $f$ — нигде не равные нулю функции на $M$, $F^\#$ — такое тензорное поле типа $(1,1)$, что 2-форма $F(X,Y)=g(X,F^\#(Y))$ кососимметрична и замкнута. В настоящей заметке построена риманово-геодезическая модель уравнения
\begin{equation} \frac\nabla{dt}\biggl(m(x)\frac{dx}{dt}\biggr)=F^\#\biggl(x,\frac{dx}{dt}\biggr)-\frac1{m(x)}\operatorname{grad}\frac1{2f(x)} \tag{ЭМ} \end{equation}
для случая, когда форма $F$ удовлетворяет условию квантования: $\int_CF\in a\mathbf Z$ при любом двумерном цикле $C$ в $M$ и фиксированном $a\in\mathbf R$. С помощью этой модели для полного собственно риманова $(M,g)$ и положительной функции $f$, в частности, доказано, что любые две точки $p$ и $q\in M$ (как $p=q$, так и $p\ne q$) соединены континуумом траекторий уравнения ЭМ, если они не сопряжены ни на одной геодезической метрике $g$. Доказано также существование континуума невырожденных петель-траекторий уравнения ЭМ с началом в любой не критической точке функции $f$. Библиогр. 31 назв.