Гармонические функции на многообразиях отрицательной кривизны

Статья посвящена свойствам решений уравнения Лапласа на полных односвязных римановых многообразиях, секционная кривизна которых не превосходит $-k^2$, где $k^2>0$. Показано, что функция Грина $E(x)$ такого многообразия с полюсом в точке $O$ удовлетворяет неравенству
$$ E(x)\leqslant\frac{k^{n-1}}{\omega_n}\int^\infty_r\frac{dt}{\operatorname{sh}^{n-1}kt}, $$
где $r$ – геодезическое расстояние от точки $O$ до точки $x$, $\omega_n$ – площадь поверхности единичной сферы в $\mathbf R^n$. Приводится неравенство, являющееся обобщением теоремы о среднем: если $u$ – неотрицательная гармоническая функция в шаре радиуса $r+\varepsilon$ с центром в точке $O$, где $\varepsilon>0$ произвольно, то
$$ u(O)\leqslant\frac{k^{n-1}}{\omega_n}\cdot\frac{1}{\operatorname{sh}^{n-1}kr}\int_{S_r} u(t)\,dt, $$
где $S_r$ – геодезическая сфера радиуса $r$ с центром в точке $O\in M$. Библиогр. 7 назв.