Формула следа для операторов Штурма–Лиувилля с сингулярными потенциалами

Пусть $u(x)$ – функция ограниченной вариации на $[0,\pi]$, непрерывная в концах этого отрезка. Тогда корректно определен оператор Штурма–Лувилля $Sy=-y''+q(x)$ с краевыми условиями Дирихле и потенциалом $q(x)=u'(x)$ (равенство в смысле распределений). В работе доказана формула следа
$$ \sum_{k=1}^\infty(\lambda_k^2-k^2+b_{2k}) =-\frac 18\sum h_j^2, $$
где $\lambda_k$ – собственные значения $S$, $b_k=\pi^{-1}\int_0^\pi\cos kxdu(x)$, а $h_j$ – скачки функции $u(x)$. Более того, в случае локальной непрерывности $q(x)$ в точках 0 и $\pi$ ряд $\sum_{k=1}^\infty(\lambda_k-k^2)$ суммируется методом средних и его сумма равна
$$ -\frac{(q(0)+q(\pi))}4-\frac 18\sum h_j^2. $$

Библиография: 28 названий.