Об оценках для следа усредненной матрицы

Для $G$-предела $\mathbf a^0$ последовательности изотропных матриц $a^\varepsilon I$, $0<\nu_1\leqslant a^\varepsilon\leqslant\nu_2$, доказана оценка
$$ -\alpha_1+\biggl(\lim_{\varepsilon\to0}\frac{1}{a^\varepsilon+\alpha_1}\biggr)^{-1}\leqslant\biggl(\frac{\operatorname{tr}(\mathbf a^0)^{-1}}{m}\biggr)^{-1}\leqslant\frac{\operatorname{tr}\mathbf a^0}{m}\leqslant-\alpha_2+\biggl(\lim_{\varepsilon\to0}\frac{1}{a^\varepsilon+\alpha_2}\biggr)^{-1}, $$
где $\alpha_i=\nu_i(m-1)(i-1,2)$, $m$ – размерность пространства, а пределы понимаются в слабом смысле. В случае задачи усреднения двухфазовой среды эта оценка дает оценку Максвелла–Гарнета. Библиогр. 7 назв.