Точный порядок констант Лебега гиперболических частных сумм кратных рядов Фурье

Рассмотрены гиперболические частные суммы непрерывных периодических функций нескольких переменных
$$ H^N_\alpha\colon f(x)\to\sum_{|m_1^{\alpha_1}\dots m^{\alpha_n}_n|\leqslant N} c_m(f)e^{im\cdot x}, $$
где $x\in\mathbf R^n$, $m\in\mathbf Z^n$, $m\cdot x=m_1x_1+\dots+m_nx_n$, $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$, $\alpha_1,\dots,\alpha_n>0$, $f\in C(T^n)$, $c_m(t)$ – $m$-й коэффициент Фурье функции $f$.
\smallskip ТЕОРЕМА 1. Существуют положительные постоянные $A$ и $B$, зависящие лишь от $\alpha$, такие, что
$$ AN^{(n-1)/2(\alpha_1+\dots+\alpha_n)}\leqslant\|H^N_\alpha\| \leqslant BN^{(n-1)/2(\alpha_1+\dots+\alpha_n)}. $$

\smallskip ТЕОРЕМА 2. Пусть $S^r_\alpha$ – класс функций, представляемых в виде
\begin{align*} f(x) &=\pi^{-n}\int_{T^n}\varphi(x-u) \sum_{m_1,\dots,m_n>0}m_1^{-r\alpha_1}\dots m_n^{-r\alpha_n} \\ &\qquad\times \prod_{j=1}^n\cos(m_ju_j+1/2\alpha_jr\pi)\,du, \end{align*}
где $\|\varphi\|\leqslant1$, $r>(n-1)/2\,(\alpha_1+\dots+\alpha_n)$ и $c_m(\varphi)=0$ при $m_1\cdot\ldots\cdot m_n=0$.
Тогда существуют положительные постоянные $A$ и $B$, зависящие лишь от $\alpha$ и $r$, такие, что
$$ AN^{-r+(n-1)/2(\alpha_1+\dots+\alpha_n)}\leqslant\sup_{f\in S^r_\alpha}\|f-H^N_\alpha\| \leqslant BN^{-r+(n-1)/2(\alpha_1+\dots+\alpha_n)}. $$

Библиогр. 8 назв.