Приближение периодических функций в $L_p$ линейными положительными методами и кратные модули непрерывности

Для линейных положительных операторов свертки
\begin{gather*} Af(x)=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x+t)K(t)\,dt, \quad K(t)=\sum^{\infty}_{n=0}\alpha_n\cos nt\geqslant0, \\ \alpha_0=\frac{1}{2}, \quad \alpha_n\geqslant0\,(n\geqslant1) \end{gather*}
доказывается оценка
$$ \|f-Af\|_p\leqslant2^{-1/r'}\biggl(\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}\|\Delta_tf\|^r_pK(t)\,dt\biggr)^{1/r}, $$
где $1\leqslant p\leqslant\infty$, $r=\min\{p,p'\}$, $\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{r'}=1$, $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p'}=1$. Даются необходимые условия для модулей непрерывности порядка $k\in N$ в $L_p$, $1\leqslant p\leqslant\infty$:
\begin{gather*} \omega_k(\pi,f)_p\leqslant\biggl(\frac{4^k}{C^k_{2k}}\biggr)^{1/r}\biggl(\dfrac{1}{\pi}\int^{\pi}_0\omega^r_k(t,f)_p\,dt\biggr)^{1/r} \quad (r=\min\{p,p'\}), \\ \|\Delta^k_{\pi}f\|_p\leqslant2^{\biggl[\frac{k+1}{2}\biggr]}\omega_k\biggl(\frac{\pi}{2},f\biggr)_p. \end{gather*}
Библиогр. 5 назв.