Об особенностях градиента решения задачи Неймана в вершине конуса

Исследован показатель сингулярности $\varkappa>-1$ градиента решения и задачи Неймана в трехмерной области с конической точкой,
$$ \nabla u(x)=|x|^{\varkappa}\Phi(x|x|^{-1})+O(|x|^{\varkappa+\delta}), \quad \delta>0. $$
Конус вырезает на единичной сфере тонкую криволинейную область, один характерный размер $\varepsilon$ которой много меньше другого $2L$. Найдена асимптотика
$$ \varkappa=2\Lambda(1+\sqrt{1+4\Lambda})^{-1}+o(1) \quad\text{при}\quad \varepsilon\to0, $$
где $0<\Lambda$ – первое положительное собственное число задачи Неймана для некоторого обыкновенного дифференциального оператора на отрезке $(-L,L)$. Показано, что за счет выбора конуса число $\Lambda$ можно сделать сколь угодно малым, а, следовательно, и показатель $\varkappa$ – сколь угодно близким к $-1$. Библиогр. 10 назв.