О слабо лакунарных рядах по системе Уолша

Пусть $\{\varphi_n(x)\}^{\infty}_{n=0}$ – система Уолша в порядке Пэли, $\{n_k\}$ – последовательность натуральных чисел, удовлетворяющая условию: $n_{k+1}/n_k\geqslant1+\omega(k)$ $(k=1,2,\dots)$, где $\{\omega(k)\}$ – неотрицательная монотонно убывающая последовательность, такая, что $k^{\alpha}\omega(k)\uparrow\infty$ для некоторого $\alpha$, $0<\alpha<1$.
Если последовательность неотрицательных чисел $\{a_k\}$ такова, что
$$ \lim_{n\to\infty}A_n=\lim_{n\to\infty}\biggl\{\sum^n_{k=1}a^2_k\biggr\}^{1/2}=\infty,\quad a_k=O(A_k\omega(k))\quad (k\to\infty), $$
то ряд $\sum^{\infty}_{k=1}ak\varphi_{n_k}(x)$ расходится почти всюду и не является рядом Фурье. Библиогр. 14 назв.