О точных константах и экстремальных функциях в неравенствах для производных

В работе исследуется экстремальная задача
\begin{equation} \begin{gathered} \|x^{(k)}(\cdot)\|_{L_q(\mathbf{I})}\|x(\cdot)\|_{L_q(\mathbf{I})}^{-\alpha} \|x^{(n)}(\cdot)\|_{L_q(\mathbf{I})}^{\alpha-1}\to\sup,\quad x\in W^n_{pr}(\mathbf{I}), \\ x\not\equiv0,\quad 1\leqslant{p,r},\quad q\leqslant\infty \tag{A} \end{gathered} \end{equation}
$\mathbf{I}=[0,1]$, $x^{(n-1)}(\cdot)$ монотонна при краевых условиях $x(0)=\dot{x}(1)=\dots=x^{(n-1)}\biggl(\dfrac{1+(-1)^n}{2}\biggr)=0$, $n\in N$, $0\leqslant k<n$ (и некоторых других) при $n=2$, $0\leqslant k<2$. Доказано существование решения, единственность и найден явный вид решения при определенных значениях параметров. Обсуждаются проблемы существования, единственности и строения экстремальных функций в классическом неравенстве Колмогорова на прямой и полупрямой при $n=2$. Установлены, в частности, необходимые и достаточные условия на параметры $p$, $q$, $r$, при которых экстремальные функции обладают групповым свойством и склеены из сдвигов и гомотетий (с геометрическим показателем $\theta^k$) решений задачи $(A)$. Библиогр. 8 назв.