Приближение функций суммами Фурье–Уолша

Пусть $S_N(f)$ – суммы Фурье функции $f$ по системе Уолша $\{w_n(x)\}$ в нумерации Пэли, $E_N(f)_p$ – соответствующие наилучшие приближения в метрике $L^p[0,1]$. Для любой последовательности $\varepsilon=\{\varepsilon_n\}^{\infty}_{n=1}$, $\varepsilon_n\downarrow0$ $(n\uparrow\infty)$ определяется класс
$$ L^p_{\varepsilon}=\{f\in L^p[0,1]:E_n(f)_p\leqslant\varepsilon_n\quad(n=1,2,\dots)\}, $$
Установлено, что при $p=1$, $\infty$ и любого натурального $N$
$$ \sup_{f\in L^p_{\varepsilon}}\|f-S_N(f)\|_p\asymp\varepsilon_N+\sum^N_{n=1}\varepsilon_{N+n}\int^{1/n}_{1/(n+1)}|D_N(x)|\,dx, $$
где $D_N(x)=\sum^{N-1}_{n=0}w_n(x)$ – ядро Дирихле–Уолша. Библиогр. 17 назв.