Совместно экстремальные многообразия

Получен новый класс экстремальных многообразий в смысле метрической теории диофантовых приближений зависимых величин – класс совместно экстремальных многообразий. Пусть $f_j(x)$, $g_j(x)$, $(1\leqslant j\leqslant n)$ – функции действительного переменного. Многообразия $\Gamma_1=(f_1(x_1),\dots,f_n(x_n))\subseteq\mathbf{R}^n$, $\Gamma_2=(g_1(x_1),\dots,g_n(x_n))\subseteq\mathbf{R}^n$ размерность $\operatorname{dim}(\Gamma_1,\Gamma_2)<2n$, называются совместно экстремальными, если для почти всех $x\in\mathbf{R}^n$ (в смысле меры Лебега в $\mathbf{R}^n$) система неравенств
\begin{equation*} \begin{cases} \|a_1f_1(x_1)+\ldots+a_nf_n(x_n)\|<a^{-n/2-\varepsilon}, \\ \|a_1g_1(x_1)+\ldots+a_ng_n(x_n)\|<a^{-n/2-\varepsilon}, \end{cases} \end{equation*}
где $a=\max_{1\leqslant i\leqslant n}|a_j|\ne0$, имеет только конечное число целых решений $(a_1,\dots,a_n)$. Библиогр. 4 назв.