Об убывании бесконечных произведений тригонометрических полиномов

В работе рассматриваются бесконечные произведения вида $f(\xi)=\prod _{k=1}^\infty m_k(2^{-k}\xi)$, где $\{m_k\}$ – произвольная последовательность тригонометрических полиномов степени не выше $n$, равномерно ограниченная по норме и такая, что $m_k(0)=1$ для всех $k$. Доказывается, что $f(\xi)$ не может убывать на бесконечности быстрее, чем $O(\xi^{-n})$. Представлены условия на последовательность $\{m_k\}$, при которых максимальная скорость убывания достигается. Данный результат применим в теории нестационарных всплесков и нестационарных подразделительных схем. В частности, он ограничивает гладкость нестационарных всплесков длиной носителя порождающих функций. Это обобщает хорошо известные подобные результаты для стационарных последовательностей полиномов (когда все $m_k$ равны). В нескольких примерах мы показываем, что ослабление условия равномерной ограниченности по норме может привести к экспоненциальному убыванию.
Библиография: 21 названия.