Об оценке снизу константы в неравенстве Джексона в разных $L_p$-нормах

Пусть $G$ – отделимая метризуемая бесконечная компактная абелева группа с нормированной инвариантной мерой Хаара $\mu$; $E_n(f,G)_p$ – величина наилучшего приближения функции $f\in L_p(G)$ по системе характеров группы $G$ порядка $n$; $V\subset G$ – окрестность нуля, $\omega(V,f,G)_p=\sup\{\|f(x+t)-f(x)\|_p|t\in V\}$ – модуль непрерывности $f$ в $L_p(G)$; $1\leqslant p\leqslant q<\infty$; $k_{pq}(V,n,G)=\sup_{f\in L_p(G)}E_n(f,G)_p/\omega(V,f,G)_q$ – точная константа в неравенстве Джексона.
Доказано равенство
$$ k_{pq}(G,n,G)=\sup_{f\in L_p(G)}\frac{E_1(f,G)_p}{\bigl(\int_G\int_G|f(x)-f(y)|^q\,d\mu\,d\mu\bigr)^{1/q}}. $$

Доказательство основано на следующей лемме, имеющей и самостоятельный интерес

ЛЕММА. Для любой группы $G$, любого $\varepsilon>0$ и любого набора положительных чисел $\{\alpha_k\}^m_{k=1},\alpha_1+\dots+\alpha_m=1$, существуют непересекающиеся множества $e_1,\ldots,e_m\in G$, для которых $\mu(e_k)=\alpha_k$ и для любого $t\in G$
\begin{gather*} \mu((e_k+t)\cap e_l)\leqslant\alpha_k\alpha_l+\varepsilon \quad (k\ne l), \\ \mu((e_k+t)\cap e_l)\leqslant\alpha_k\alpha_l+\varepsilon \quad (k=l). \end{gather*}
Библиогр. 8 назв