Новые свойства гармонических многочленов

Для изучения (поли-)гармонических многочленов в кольце $\mathbf{R}[x]$ ($x=(x_1,\ldots,x_n)$) применяются некоторые результаты теории полиномиальных идеалов. Пусть $\sigma=x_1^2+\ldots+x_n^2$, $D_{\Phi}$ – дифференциальный оператор, соответствующий $\Phi\in\mathbf{R}[x]$ при соответствии $x_i\to\partial/\partial x_i$, $i=1,\ldots,n$. Установлено, что для однородного многочлена $\Phi$ степени $t$ $D_{\sigma^m}(\Phi)=0$ тогда и только тогда, когда $D_{\Phi}(\sigma^p)=0$ при $p\in\mathbf{N}_0\colon p\leqslant t-m$. Для однородного гармонического многочлена $\Phi$ степени $t$ доказано тождество
$$ D_{\Phi}(\sigma^{t+p})=\dfrac{(2(t+p))!!}{(2p)!!}\sigma^p\Phi \quad (p\in\mathbf{N}_0). $$
Построен специальный базис линейного пространства многочленов, ортогональных с единичным весом по $n$-мерному шару. Библиогр. 7 назв.